Polinômios de Hermite

Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

Os cinco primeiros polinômios de Hermite (probabilísticos).

Definição

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:

H n ( x ) = ( 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e x 2 / 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}

Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")

H n p h y s ( x ) = ( 1 ) n e x 2 d n d x n e x 2 {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}

Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:

H n p h y s ( x ) = 2 n / 2 H n p r o b ( 2 x ) {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x)\,\!} .

Os polinômios físicos podem ser escritos como:

H n p h y s ( x ) = ( 2 x ) n n ( n 1 ) 1 ! ( 2 x ) n 2 + n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 3 ) 2 ! ( 2 x ) n 4 {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1!}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}}(2x)^{n-4}-\dots }

Propriedades

Ortogonalidade

Hn(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso

e x 2 / 2 {\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!} (probabilidade)

ou

e x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!} (física)

ou seja,

H n ( x ) H m ( x ) e x 2 / 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx}

ou

H n ( x ) H m ( x ) e x 2 d x = n ! 2 n π   δ n m {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}} (física)

onde δij é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando n = m e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísiticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

Função geradora

e 2 t x t 2 = n = 0 H n p h y s ( x ) t n n ! {\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)t^{n}}{n!}}}

Fórmulas de recorrência

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:

H n + 1 p h y s ( x ) = 2 x H n p h y s ( x ) 2 n H n 1 p h y s ( x ) {\displaystyle H_{n+1}^{\mathrm {phys} }(x)=2xH_{n}^{\mathrm {phys} }(x)-2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}
H n p h y s ( x ) = 2 n H n 1 p h y s ( x ) {\displaystyle {H'}_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}

Decomposição numa série de funções

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:

f ( x ) = n = 0 A n H n ( x ) = A 0 H 0 ( x ) + A 1 H 1 ( x ) + A 2 H 2 ( x ) + {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)=A_{0}H_{0}(x)+A_{1}H_{1}(x)+A_{2}H_{2}(x)+\ldots }

Onde as constantes são dadas por:

A k = 1 2 k k ! π + e x 2 f ( x ) H k ( x )   d x {\displaystyle A_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)\ dx}

Outras propriedades

H n ( x ) = ( 1 ) n H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\,}
H 2 n 1 ( 0 ) = 0 {\displaystyle H_{2n-1}(0)=0\,}
H 2 n p h y s ( 0 ) = ( 1 ) n 2 n ( 1 3 5 ( 2 n 1 ) ) {\displaystyle H_{2n}^{\mathrm {phys} }(0)=(-1)^{n}2^{n}(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}

Equação diferencial de Hermite

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:[1]

d 2 y d x 2 2 x d y d x + 2 n y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0}

Que na forma canônica pode ser escrita como:

1 e x 2 d d x ( e x 2 d y d x ) + 2 n y = 0 {\displaystyle {\frac {1}{e^{-x^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left(e^{-x^{2}}{\frac {dy}{dx}}\right)+2ny=0}

Referência

  • Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em castelhano cujo título é «Polinomios de Hermite», especificamente desta versão.
  1. Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.
  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid): [s.n.] ISBN 84-7615-197-7  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautores= (ajuda)